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高斯

人物簡介  約翰 卡爾 弗裡德裡希 高斯(1777年4月30日-1855年2月23日),被譽為 數學王子 ,是德國知名數學傢、物理學傢和天文學傢。高斯被認為是近代數學的奠基人之一,並與阿基米德、牛頓合稱世界三大數學傢,他最主要的貢獻就是證明代數基本定理。高斯在數論、代數學、非歐幾何、復變函數和微分幾何等方面都做出瞭開創性的貢獻,還將數學運用於天文學、大地測量學和磁學的研究,以他的名字命名的成果就達110個,可見其貢獻之大。

人物生平
  傢庭背景
  高斯是一對貧窮夫婦的唯一的兒子。母親是一個貧窮石匠的女兒,雖然十分聰明,但卻沒有接受過教育。在她成為高斯父親的第二個妻子之前,她從事女傭工作。他的父親曾做過園丁,工頭,商人的助手和一個小保險公司的評估師。
  當高斯三歲時便能夠糾正他父親的借債賬目的事情,已經成為一個軼事流傳至今。他曾說,他在麥仙翁堆上學會計算。能夠在頭腦中進行復雜的計算,是上帝賜予他一生的天賦。
  父親格爾恰爾德 迪德裡赫對高斯要求極為嚴厲,甚至有些過分。高斯尊重他的父親,並且秉承瞭其父誠實、謹慎的性格。高斯很幸運地有一位鼎力支持他成才的母親。高斯一生下來,就對一切現象和事物十分好奇,而且決心弄個水落石出,這已經超出瞭一個孩子能被許可的范圍。當丈夫為此訓斥孩子時,她總是支持高斯,堅決反對頑固的丈夫想把兒子變得跟他一樣無知。
  在成長過程中,幼年的高斯主要得力於他的母親羅捷雅和舅舅弗利德裡希(Friederich)。弗利德裡希富有智慧,為人熱情而又聰明能幹投身於紡織貿易頗有成就。他發現姐姐的兒子聰明伶利,因此他就把一部分精力花在這位小天才身上,用生動活潑的方式開發高斯的智力。
  若幹年後,已成年並成就顯赫的高斯回想起舅舅為他所做的一切,深感對他成才之重要,他想到舅舅多產的思想,不無傷感地說,舅舅去世使 我們失去瞭一位天才 。正是由於弗利德裡希慧眼識英才,經常勸導姐夫讓孩子向學者方面發展,才使得高斯沒有成為園丁或者泥瓦匠。
  羅捷雅真的希望兒子能幹出一番偉大的事業,對高斯的才華極為珍視。然而,她也不敢輕易地讓兒子投入不能養傢糊口的數學研究中。在高斯19歲那年,盡管他已做出瞭許多偉大的數學成就,但她仍向數學界的朋友W.波爾約問道:高斯將來會有出息嗎?波爾約說她的兒子將是 歐洲最偉大的數學傢 ,為此她激動得熱淚盈眶。
  初顯天分
  高斯7歲那年開始上學。10歲的時候,他進入瞭學習數學的班級,這是一個首次創辦的班,孩子們在這之前都沒有聽說過算術這麼一門課程。數學教師是佈特納,他對高斯的成長也起瞭一定作用。
  一天,老師佈置瞭一道題,1+2+3 這樣從1一直加到100等於多少。
  高斯很快就算出瞭答案,起初高斯的老師佈特納並不相信高斯算出瞭正確答案: 你一定是算錯瞭,回去再算算。 高斯說出答案就是5050,高斯是這樣算的1+100=101,2+99=101 1加到100有50組這樣的數,所以50X101=5050。
  佈特納對他刮目相看。他特意從漢堡買瞭最好的算術書送給高斯,說: 你已經超過瞭我,我沒有什麼東西可以教你瞭。 接著,高斯與佈特納的助手巴特爾斯建立瞭真誠的友誼,直到巴特爾斯逝世。他們一起學習,互相幫助,高斯由此開始瞭真正的數學研究。
  得到資助
  1788年,11歲的高斯進入瞭文科學校,他在新的學校裡,所有的功課都極好,特別是古典文學、數學尤為突出。他的教師們和慈母把他推薦給伯倫瑞克公爵,希望公爵能資助這位聰明的孩子上學。
  佈倫茲維克公爵卡爾 威廉 斐迪南召見瞭14歲的高斯。這位樸實、聰明但傢境貧寒的孩子贏得瞭公爵的同情,公爵慷慨地提出願意作高斯的資助人,讓他繼續學習。
  1792年高斯進入佈倫茲維克的卡羅琳學院繼續學習。1795年,公爵又為他支付各種費用,送他入德國著名的哥丁根大學,這樣就使得高斯得以按照自己的理想,勤奮地學習和開始進行創造性的研究。
  1796年高斯19歲,發現瞭正十七邊形的尺規作圖法,解決瞭自歐幾裡德以來懸而未決的一個難題。同年,發表並證明瞭二次互反律。這是他的得意傑作,一生曾用八種方法證明,稱之為 黃金律 。
  1799年,高斯完成瞭博士論文,獲黑爾姆施泰特大學的博士學位,回到傢鄉佈倫茲維克,雖然他的博士論文順利通過瞭,被授予博士學位,同時獲得瞭講師職位,但他沒有能成功地吸引學生,因此隻能回老傢-又是公爵伸手救援他。
  公爵繼續慷慨資助高斯的研究,使得他能在1803年謝絕聖彼得堡提供的教授職位,他一直是聖彼得堡科學院通訊院士。
  公爵為高斯付諸瞭長篇博士論文的印刷費用,送給他一幢公寓,又為他印刷瞭《算術研究》,使該書得以在1801年問世;還負擔瞭高斯的所有生活費用。所有這一切,令高斯十分感動。他在博士論文和《算術研究》中,寫下瞭情真意切的獻詞: 獻給大公 , 你的仁慈,將我從所有煩惱中解放出來,使我能從事這種獨特的研究 。
  佈倫茲維克公爵在高斯的成才過程中起瞭舉足輕重的作用。不僅如此,這種作用實際上反映瞭歐洲近代科學發展的一種模式,表明在科學研究社會化以前,私人的資助是科學發展的重要推動因素之一。高斯正處於私人資助科學研究與科學研究社會化的轉變時期。
  歷經變故
  1806年,卡爾 威廉 斐迪南公爵在抵抗拿破侖統帥的法軍時不幸在耶拿戰役陣亡,這給高斯以沉重打擊。他悲痛欲絕,長時間對法國人有一種深深的敵意。大公的去世給高斯帶來瞭經濟上的拮據,德國處於法軍奴役下的不幸,以及第一個妻子的逝世,這一切使得高斯有些心灰意冷。
  但他是位剛強的漢子,從不向他人透露自己的窘況,也不讓朋友安慰自己的不幸。人們隻是在19世紀整理他的未公佈於眾的數學手稿時才得知他那時的心態。在一篇討論橢圓函數的手稿中,突然插入瞭一段細微的鉛筆字: 對我來說,死去也比這樣的生活更好受些。
  慷慨、仁慈的資助人去世瞭,因此高斯必須找一份合適的工作,以維持一傢人的生計。由於高斯在天文學、數學方面的傑出工作,他的名聲從1802年起就已開始傳遍歐洲。彼得堡科學院不斷暗示他,自從1783年萊昂哈德 歐拉去世後,歐拉在彼得堡科學院的位置一直在等待著像高斯這樣的天才。公爵在世時堅決勸阻高斯去俄國,他甚至願意給高斯增加薪金,為他建立天文臺。
  為瞭不使德國失去最偉大的天才,德國著名學者洪堡(B.A.Von Humboldt)聯合其他學者和政界人物,為高斯爭取到瞭享有特權的哥廷根大學數學和天文學教授,以及哥廷根天文臺臺長的職位。1807年,高斯赴哥廷根就職,全傢遷居於此。
  從這時起,除瞭一次到柏林去參加科學會議以外,他一直住在哥廷根。洪堡等人的努力,不僅使得高斯一傢人有瞭舒適的生活環境,高斯本人可以充分發揮其天才,而且為哥廷根數學學派的創立、德國成為世界科學中心和數學中心創造瞭條件。同時,這也標志著科學研究社會化的一個良好開端。
  投身研究
  1833年高斯從他的天文臺拉瞭一條長八千尺的電線,跨過許多人傢的屋頂,一直到韋伯的實驗室,以伏特電池為電源,構造瞭世界第一個電報機。
  高斯對自己的工作態度是精益求精,非常嚴格地要求自己的研究成果。他自己曾說:寧可發表少,但發表的東西是成熟的成果。許多當代的數學傢要求他,不要太認真,把結果寫出來發表,這對數學的發展是很有幫助的。
  其中一個有名的例子是關於非歐幾何的發展。非歐幾何的的開山祖師有三人,高斯、 洛巴切夫斯基,波爾約。其中波爾約的父親是高斯大學的同學,他曾想試著證明平行公理,雖然父親反對他繼續從事這種看起來毫無希望的研究,小波爾約還是沉溺於平行公理。最後發展出瞭非歐幾何,並且在1832~1833年發表瞭研究結果,老波爾約把兒子的成果寄給老同學高斯,想不到高斯卻回信道:我無法誇贊他,因為誇贊他就等於誇獎我自己。
  早在幾十年前,高斯就已經得到瞭相同的結果,隻是怕不能為世人所接受而沒有公佈而已。阿貝爾和雅可比可以從高斯所停留的地方開始工作,而不是把他們最好的努力花在發現高斯早在他們出生時就知道的東西。而那些非歐幾何學的創造者,可以把他們的天才用到其他方面去。
  他越來越多的學生成為有影響的數學傢,如後來聞名於世的戴德金和黎曼。
  他的父親死於1808年4月14日,1809年10月11日,他的第一位妻子Johanna也離開人世。次年8月4日高斯迎娶第二位妻子Friederica Wilhelmine (1788-1831)。他們又有三個孩子:Eugen (1811-1896),Wilhelm (1813-1883) 和 Therese (1816-1864)。1831年9月12日她的第二位妻子也死去,1837年高斯開始學習俄語。1839年4月18日,他的母親在哥廷根逝世,享年95歲。高斯於1855年2月23日凌晨1點在哥廷根去世。他的很多散佈在給朋友的書信或筆記發現於1898年。
  個人信仰
  高斯的信仰是基於尋求真理的。他相信 精神個性上的不朽,像是個人在死後的持久性,還有最後命令的東西,以及永恒的、正義的、無所不知和無所不能的上帝。 高斯也堅持宗教的寬容,他相信打擾其他正處在他們自己和平信念中的人是不對的。他說:微小的學識使人遠離神,廣博的學識使人接近神。
  高斯具有濃厚的宗教感情、貴族的舉止和保守的傾向。他一直遠離他那個時代的進步政治潮流。在高斯身上表現出的矛盾是與他實際上的和諧結合在一起的。高斯身為才氣橫溢的算術傢,對於數具有非凡的記憶力。他既是一個深刻的理論傢,又是一個傑出的數學實踐傢。教學是他最討厭的事,因此他隻有少數幾個學生。但他的那些影響數學發展進程的論著(大約155篇)卻使他嘔心瀝血。有3個原則指導他的工作︰他最喜歡說的「少些,但要成熟些」;他的格言「不留下進一步要做的事」;和他的極度嚴格的要求。
  從他死後出版的著作中可以看出,他有許多重要和內容廣泛的論文從未發表,因為按他的意見,它們都不符合這些原則。高斯所追求的數學研究題目都是那些他能在其中預見到具有某種有意義聯系的概念和結果,它們由於優美和普遍而值得稱道。
  偉人之死
  1849年舉辦瞭高斯獲博士學位50周年慶祝會,為此高斯準備瞭他早期對代數基本定理證明的一個新版本。由於健康狀況愈來愈差,這成瞭他最後的著作。給他帶來最大歡樂和榮譽的還是哥廷根市贈與他的榮譽公民頭銜。由於他在數學、天文學、大地測量學和物理學中的傑出研究成就,他被選為許多科學院和學術團體的成員。他謝絕瞭許多大學請他當教授的邀請而一直留在哥廷根大學的院系中,直至1855年2月23日逝世。逝世後不久就鑄造瞭紀念他的錢幣。
高斯定理
  高斯定理(Gauss Law)也稱為高斯公式(Gauss Formula),或稱作散度定理、高斯散度定理、高斯-奧斯特羅格拉德斯基公式、奧氏定理或高-奧公式(通常情況的高斯定理都是指該定理,也有其它同名定理)。
  在靜電學中,表明在閉合曲面內的電荷之和與產生的電場在該閉合曲面上的電通量積分之間的關系。 高斯定律(Gauss law)表明在閉合曲面內的電荷分佈與產生的電場之間的關系。高斯定律在靜電場情況下類比於應用在磁場學的安培定律,而二者都被集中在麥克斯韋方程組中。因為數學上的相似性,高斯定律也可以應用於其它由反平方定律決定的物理量,例如引力或者輻照度。
高斯函數
  高斯函數的形式為:
  其中 a、b 與 c 為實數常數 ,且a 0.
  c^2 = 2 的高斯函數是傅立葉變換的特征函數。這就意味著高斯函數的傅立葉變換不僅僅是另一個高斯函數,而且是進行傅立葉變換的函數的標量倍。
  高斯函數屬於初等函數,但它沒有初等不定積分。但是仍然可以在整個實數軸上計算它的廣義積分(詳情參見高斯積分)。
  高斯函數的不定積分是誤差函數。在自然科學、社會科學、數學以及工程學等領域都有高斯函數的身影,這方面的例子包括:
  在統計學與機率論中,高斯函數是正態分佈的密度函數,根據中心極限定理它是復雜總和的有限機率分佈。
  高斯函數是量子諧振子基態的波函數。
  計算化學中所用的分子軌道是名為高斯軌道的高斯函數的線性組合(參見量子化學中的基組)。
  在數學領域,高斯函數在厄爾米特多項式的定義中起著重要作用。
  高斯函數與量子場論中的真空態相關。
  在光學以及微波系統中有高斯波束的應用。
  高斯函數在圖像處理中用作預平滑核(參見尺度空間表示)。
  設x R , 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數,並用{ }表示x的非負純小數,則 y= [x] 稱為高斯(Guass)函數,也叫取整函數。(其中y={x}叫做小數部分函數,表示x的小數部分)
  任意一個實數都能寫成整數與非負純小數之和,即:x= [x] + { }(0 {x} 1)
高斯分佈
  正態分佈(Normal distribution)又名高斯分佈(Gaussian distribution),是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分佈,在統計學的許多方面有著重大的影響力。若隨機變量X服從一個數學期望為 、方差為 ^2的高斯分佈,記為N( , ^2)。其概率密度函數為正態分佈的期望值 決定瞭其位置,其標準差 決定瞭分佈的幅度。因其曲線呈鐘形,因此人們又經常稱之為鐘形曲線。我們通常所說的標準正態分佈是 = 0, = 1的正態分佈。
人物評價
  高斯不僅對純粹數學作出瞭意義深遠的貢獻,而且對20世紀的天文學、大地測量學和電磁學的實際應用也作出瞭重要的貢獻。
  高斯開辟瞭許多新的數學領域,從最抽象的代數數論到內蘊幾何學,都留下瞭他的足跡。從研究風格、方法乃至所取得的具體成就方面,他都是18─19世紀之交的中堅人物。
  如果我們把18世紀的數學傢想象為一系列的高山峻嶺,那麼最後一個令人肅然起敬的巔峰就是高斯;如果把19世紀的數學傢想象為一條條江河,那麼其源頭就是高斯。
  高斯是 人類的驕傲 。天才、早熟、高產、創造力不衰 人類智力領域的幾乎所有褒獎之詞,對於高斯都不過分。
  愛因斯坦曾評論說: 高斯對於近代物理學的發展,尤其是對於相對論的數學基礎所作的貢獻(指曲面論),其重要性是超越一切,無與倫比的。
  貝爾曾經這樣評論高斯:在高斯死後,人們才知道他早就預見一些十九世的數學,而且在1800年之前已經期待它們的出現。如果他能把他所知道的一些東西泄漏,很可能比當今數學還要先進半個世紀或更多的時間。